1.1 · 1.2 · 1.3 — Conceptos fundamentales
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales se formulan y resuelven problemas matemáticos con operaciones aritméticas. Habitualmente producen soluciones aproximadas; el análisis del error permite evaluar su confiabilidad.
¿Por qué usarlos? Muchos problemas reales no tienen solución analítica cerrada: ecuaciones no lineales, integrales complejas, sistemas de ecuaciones grandes, ecuaciones diferenciales con condiciones de frontera complicadas. Para todos esos casos, los métodos numéricos son la herramienta principal.
Aplicación en Ingeniería de Sistemas: los algoritmos de búsqueda, aprendizaje automático, simulación de redes y optimización de recursos usan métodos numéricos en su núcleo.
El uso de la computadora introduce dos consecuencias:
Por eso, el análisis del error es el primer tema: antes de usar un método, necesitas saber qué tan confiable es su resultado.
Estudia los temas en el orden que prefieras. Cada intento usa un nuevo orden y, cuando corresponde, nuevos datos.
1.4 · 1.5 — Representación y redondeo
Un número exacto es el que resulta de un conteo o una operación algebraica exacta. Un número aproximado es el que proviene de una medición, de una representación truncada o de un cálculo con precisión finita.
Existen dos formas de reducir dígitos:
Para conservar d decimales, escala la magnitud: y=|x|×10d. Sea k=⌊y⌋ y r=y−k.
Restaura la escala dividiendo por 10d y el signo original. Para empates alejados de cero se usa k+1 cuando r=0.5.
Cancelación catastrófica: restar dos números aproximados casi iguales puede eliminar la mayoría de las cifras significativas y amplificar enormemente el error relativo.
La regla solo cambia empates exactos: 2.345 a dos decimales da 2.34 al par o 2.35 al alejarse de cero.
1.6 — Medición del error
Para cuantificar cuán lejos está una aproximación del valor verdadero se definen tres medidas:
donde \(x_v\) es el valor verdadero y \(x_a\) es el valor aproximado.
En la práctica, el valor verdadero casi nunca se conoce. Se usa una estimación del error comparando iteraciones sucesivas: \(\varepsilon_a = \left|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\right| \times 100\%\)
Calcula los errores al aproximar \(\pi \approx 3.14159\) con \(x_a = 3.14\).
x_v = 3.14159265 # valor verdadero
x_a = 3.14 # valor aproximado
e_abs = abs(x_v - x_a)
e_rel = e_abs / abs(x_v)
e_pct = e_rel * 100
print(f"Error absoluto: {e_abs:.8f}")
print(f"Error relativo: {e_rel:.8f}")
print(f"Error porcentual: {e_pct:.6f}%")1.7 — Tipos y fuentes de error
Los errores en métodos numéricos tienen tres fuentes principales:
Los tres tipos de error pueden acumularse. Un método que parece preciso puede volverse inestable si el error de redondeo se amplifica en cada iteración.
1.8 — Dígitos confiables
Las cifras significativas son los dígitos que realmente contienen información sobre la magnitud del número. Las reglas para contarlas son:
Para redondear a \(n\) cifras significativas, cuenta desde el primer dígito distinto de cero y aplica la regla de redondeo a la primera cifra descartada. Por ejemplo, 2.546 a 3 cifras se redondea a 2.55.
\[E_r \leq 0.5 \times 10^{1-n}\quad\text{(criterio relativo orientativo)}\]Umbral del criterio para n = 3: \(E_r \approx 5 \times 10^{-3} = 0.5\%\)
1.9 · 1.10 · 1.11 · 1.12 · 1.13 — Cómo se acumulan los errores
Cuando operamos con números aproximados, el error se propaga según la operación realizada.
Para la suma y resta conviene trabajar con errores absolutos. Para producto, cociente y potencia conviene trabajar con errores relativos.
Sea \(u = 3.0 \pm 0.1\) y \(v = 2.0 \pm 0.05\). Calcula el error de \(u \cdot v\).
import math
def propagar_error(u, du, v, dv, op):
"""Cotas de suma/resta; estimación de primer orden en otras operaciones."""
if not all(math.isfinite(x) for x in (u, du, v, dv)) or min(du, dv) < 0:
raise ValueError("Datos finitos e incertidumbres no negativas")
if op in ('+', '-'):
res = u + v if op == '+' else u - v
e_abs = du + dv
elif op == '*':
res = u * v
e_abs = abs(v) * du + abs(u) * dv
elif op == '/':
if abs(v) <= dv:
raise ValueError("El divisor puede ser cero")
res = u / v
e_abs = du / abs(v) + abs(u) * dv / v**2
elif op in ('pow', 'root'):
if op == 'root' and not float(v).is_integer():
raise ValueError("Índice entero")
if op == 'root' and (v < 2 or u - du <= 0):
raise ValueError("Índice ≥2 e intervalo positivo")
p = 1 / v if op == 'root' else v
if (p % 1 != 0 and u - du <= 0) or (p < 0 and abs(u) <= du):
raise ValueError("Fuera del dominio de la potencia")
res = u**p
e_abs = 0 if p == 0 or du == 0 else abs(p * u**(p-1)) * du
else:
raise ValueError("Operación desconocida")
e_rel = e_abs / abs(res) if res != 0 else None
return res, e_abs, e_relAmpliación A — Sensibilidad de la solución a perturbaciones
El número de condición \(\kappa\) mide cuánto se amplifica un pequeño error en los datos al calcular la solución.
Si \(\kappa \gg 1\) el problema está mal condicionado: pequeños errores en la entrada se amplifican enormemente en la salida.
El mal condicionamiento es una propiedad del problema, no del algoritmo. No puedes resolverlo cambiando de método; debes reestructurar el problema o conseguir datos más precisos. La estabilidad del algoritmo es una cuestión distinta.
Calcula \(f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}\) para \(x = 10000\) con 5 cifras significativas.
Ampliación B — Velocidad de convergencia
Un método iterativo genera una secuencia \(x_0, x_1, x_2, \ldots\) que converge hacia la solución exacta \(x^*\). El orden de convergencia \(p\) dice qué tan rápido decrece el error:
Para estimar el orden empíricamente con tres errores consecutivos:
Ingresa al menos 3 valores de error (uno por línea). Ejemplo: errores por iteración de un método.
import math
errores = [0.5, 0.1, 0.01, 0.0001]
print("n | e_n | p estimado")
print("-" * 35)
for i in range(1, len(errores) - 1):
p = math.log(errores[i+1] / errores[i]) / \
math.log(errores[i] / errores[i-1])
print(f"{i} | {errores[i]:.6f} | {p:.4f}")24 preguntas: tres por tema. Selección y respuesta numérica. Apruebas con 16 aciertos.
Aproximaciones y errores. Truncado, redondeo, error absoluto y error relativo.
Descargar video del módulo 1Consulta estas fórmulas mientras estudias o resuelves ejercicios.
Para conservar \(d\) decimales, usa \(m=10^d\). Elige la regla del empate: al par (libro) o alejarse de cero. El truncamiento siempre se hace hacia cero.
\[T_d(x)=\frac{\operatorname{trunc}(mx)}{m}\]Solo para la convención de empates alejados de cero:
\[R_d(x)=\frac{\operatorname{sgn}(x)\lfloor m|x|+0.5\rfloor}{m}\]Para empate al par, elige el vecino cuyo último dígito sea par cuando la parte descartada sea exactamente la mitad.
\(x_v\) es el valor verdadero y \(x_a\) el aproximado. El error relativo queda indefinido si \(x_v=0\).
\[E_a=|x_v-x_a|,\quad E_r=\frac{E_a}{|x_v|}\] \[E_{\%}=100E_r\,\%\]Estima el cambio relativo cuando se desconoce el valor exacto y \(x_{n+1}\ne0\).
\[\varepsilon_a=\left|\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+1}}\right|\,100\,\%\]Criterio absoluto del libro para \(a=c\times10^m\), con \(1\le |c|<10\):
\[E_a\le0.5\times10^{m-n+1}\]Umbral relativo orientativo adicional, sin equivalencia universal con la garantía anterior:
\[E_r\le 0.5\times10^{1-n}\]\(\Delta u\) y \(\Delta v\) son incertidumbres absolutas. Para producto, cociente y potencia se usa una aproximación de primer orden.
\[\Delta(u\pm v)\le \Delta u+\Delta v\] \[E_r(uv),\ E_r(u/v)\ \approx\ \frac{\Delta u}{|u|}+\frac{\Delta v}{|v|}\] \[E_r(u^n)\approx |n|\frac{\Delta u}{|u|}\]\[E_r(\sqrt[n]{u})\approx\frac{1}{n}\frac{\Delta u}{|u|}\]Para la raíz del laboratorio se requiere n entero ≥2 y un intervalo del radicando estrictamente positivo. En cocientes se exige que el intervalo del divisor no contenga cero.
Las expresiones relativas requieren un resultado nominal distinto de cero.
El número de condición mide la amplificación local del error relativo. Se usa cuando \(f(x)\ne0\).
\[\kappa(x)=\left|\frac{x f'(x)}{f(x)}\right|\]Usa tres magnitudes consecutivas de error positivas y un denominador distinto de cero.
\[p\approx\frac{\ln(|e_{n+1}|/|e_n|)}{\ln(|e_n|/|e_{n-1}|)}\]